7 грудня 2015 року відбувся І (районний ) тур всеукраїнського конкурсу "Учитель року - 2016"
Блог вчителя математики та інформатики
понеділок, 14 грудня 2015 р.
понеділок, 23 листопада 2015 р.
Розв’язки завдань І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики для учнів 8 класу
1. Доведіть, що
добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом
другого числа.
Розв'язання.
Нехай друге число х. Тоді (х -1)х(х+1)+х=х3 - х + х = х3.
2. Є лист паперу
в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменше число клітин так, щоб для
будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по
стороні. Доведіть, що менше число клітин зафарбувати не можна.
Відповідь: 12 клітин.
Розв'язання.
З умови випливає, що існують клітини кожного кольору. Якщо якогось кольору буде
тільки одна клітина, то в неї має бути 5 різнокольорових сусідів, що неможливо.
Отже, кожного кольору хоча б по дві клітини, а всього - не менше 12 клітин.
Приклад (не єдиний).
1
|
2
|
3
|
4
|
3
|
4
|
5
|
6
|
6
|
1
|
5
|
2
|
3. На острові
проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар (завжди говорить правду), або
брехун (завжди бреше). Одного разу всі жителі острова розбилися на пари, і
кожен про свого напарника сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи
могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?
Відповідь: ні.
Розв'язання.
Якщо в парі стоять два лицарі або два брехуни, то вони один про одного скажуть
«він лицар». Якщо в парі стоять лицар і брехун, то вони обидва скажуть «він
брехун». Таким чином, кожна фраза виголошена парне число разів. Якби цих фраз було порівну, то
кожна фраза пролунала б по 2010: 2 = 1005 разів. А це число непарне.
4. ABCD - квадрат, AD = ВE = CE. Знайдіть кут AED.
Відповідь: 30о, 150о.
Розв'язання. Трикутник ВCE - рівносторонній. Можливі два випадки його
розташування - всередині
квадрата і ззовні. У першому випадку кут AВE = 90о +60о = 150о, кут ВAE = ВEA = 15о, EAD = EDA = 90о - 15о = 75о, AED = 180о - 2•75о =30о.
В
другому випадку кут AВE = 90о - 60о = 30о, кут ВAE = ВEA = 75о, EAD =EDA =90о - 75о = 15о, AED = 180о - 2•15о = 150о.
5. Є
числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з
наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за
кілька таких операцій зробити всі числа рівними?
Відповідь: ні.
Розв'язання: Розглянемо
добуток даних чисел. Спочатку він дорівнює 4S. Зауважимо, що число 4S не є квадратом
натурального числа. Якщо якісь два з даних чисел множаться на деяке натуральне
число n, добуток даних чисел множиться на n2. Отже, якщо воно не було квадратом натурального
числа, воно їм і не стане. Але якщо всі наявні числа стануть рівними між собою,
то їх добуток буде квадратом. Тому, такими операціями не можна вирівняти наявні
числа.
Розв’язки завдань І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики для учнів 6 класу
1. Чи
можна подати число 91 у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких також дорівнює 91?
Відповідь: так.
Розв'язання. Можна взяти
числа 13 і 7 та сімдесят одну
одиницю. І їх добуток, і їх сума рівні 91.
2. Вася
склав куб з 27 кубиків,
а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики,
у яких були пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?
Відповідь: 20.
Розв'язання. З 27 кубиків виходить куб 3х3х3. Вуглові кубики пофарбовані
з трьох сторін (їх 8 штук), кубики,
які знаходяться на ребрах, але не в вершинах, пофарбовані з двох сторін (їх 12 штук - по одному на
кожному ребрі). Решта кубики пофарбовані з одного боку (знаходяться всередині
межі) або не пофарбовані зовсім (центральний кубик). Отже, Петро взяв 8 +12 = 20 кубиків.
3. Петро
і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з
периметром 40 см
кожен, а у Васі - два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники?
Відповідь: 60 см.
Розв'язання. Якщо сторони
вихідного прямокутника а і b, то у Петра
вийшли периметри, рівні 2а+ b = 40, а у Васі - рівні а +2b = 50. Тоді 3а +3b = 40+50=90. Звідки 2а+2b = 60 - периметри
вихідних прямокутників.
4. На
прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками
поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В
результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій
спочатку?
Відповідь: 2, 3, 5, 9, 17, 33 точок.
Розв'язання. Зауважимо, що
коли на прямій відмічено k точок, то
проміжків між ними буде k - 1, і якщо у
кожний такий проміжок поставити по точці, то всього точок стане k + (k- 1) = 2k - 1. Тому якщо точок
стало 2k - 1=65, то перед
останньою операцією їх було k = 33. Аналогічно знаходимо, що до цього їх було 17,
потім - 9, 5, 3 і 2. Процес міг починатися з будь-якого з етапів.
5.
На острові, населення якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і
брехуни, які завжди брешуть, знаходиться науково-дослідний інститут (НДІ).
Кожний із його співробітників зробив одного разу дві заяви: а) в інституті
немає і десятка людей, що працюють більше від мене; б) принаймні сто осіб в
інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що навантаження у всіх
працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в НДІ?
Відповідь: 110 осіб.
Розв'язання. Розглянемо
співробітника, який працює більше всіх інших. Тоді першою заяві він не збрехав,
тобто він - лицар. Але тоді і друга його заява - правда, отже, знайдуться 100
чоловік в інституті, які отримують більше нього. Бачимо, що з одного боку перші
10 співробітників, які працюють більше, ніж інші - лицарі, а решта - брехуни. З
іншого боку, 100 співробітників, які отримують більше за інших - брехуни, а
решта - лицарі. Тому всього лицарів і брехунів 110.
Підписатися на:
Дописи (Atom)