Розв’язки завдань І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики для учнів 8 класу

1. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

Розв'язання. Нехай друге число х. Тоді (х -1)х(х+1)+х=х³ - х + х = х³.

2. Є лист паперу в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменше число клітин так, щоб для будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по стороні. Доведіть, що менше число клітин зафарбувати не можна.

Відповідь: 12 клітин.

Розв'язання. З умови випливає, що існують клітини кожного кольору. Якщо якогось кольору буде тільки одна клітина, то в неї має бути 5 різнокольорових сусідів, що неможливо. Отже, кожного кольору хоча б по дві клітини, а всього - не менше 12 клітин. Приклад (не єдиний).

1	2	3	4
3	4	5	6
6	1	5	2

3. На острові проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар (завжди говорить правду), або брехун (завжди бреше). Одного разу всі жителі острова розбилися на пари, і кожен про свого напарника сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?

Відповідь: ні.

Розв'язання. Якщо в парі стоять два лицарі або два брехуни, то вони один про одного скажуть «він лицар». Якщо в парі стоять лицар і брехун, то вони обидва скажуть «він брехун». Таким чином, кожна фраза виголошена парне число разів. Якби цих фраз було порівну, то кожна фраза пролунала б по 2010: 2 = 1005 разів. А це число непарне.

4. ABCD - квадрат, AD = ВE = CE. Знайдіть кут AED.

Відповідь: 30^о, 150^о.

Розв'язання. Трикутник ВCE - рівносторонній. Можливі два випадки його розташування - всередині квадрата і ззовні. У першому випадку кут AВE = 90^о +60^о = 150^о, кут ВAE = ВEA = 15^о, EAD = EDA = 90^о - 15^о = 75^о, AED = 180^о - 2•75^о =30^о.

В другому випадку кут AВE = 90^о - 60^о = 30^о, кут ВAE = ВEA = 75^о, EAD =EDA =90^о - 75^о = 15^о, AED = 180^о - 2•15^о = 150^о.

5. Є числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за кілька таких операцій зробити всі числа рівними?

Відповідь: ні.

Розв'язання: Розглянемо добуток даних чисел. Спочатку він дорівнює 4S. Зауважимо, що число 4S не є квадратом натурального числа. Якщо якісь два з даних чисел множаться на деяке натуральне число n, добуток даних чисел множиться на n². Отже, якщо воно не було квадратом натурального числа, воно їм і не стане. Але якщо всі наявні числа стануть рівними між собою, то їх добуток буде квадратом. Тому, такими операціями не можна вирівняти наявні числа.